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第562章 曲率度规张量和偏微分方程（第2页）

洛德的眼睛开始直。

塔维尔继续无情地推进“对于我们的球对称质量分布，假设物质能量-动量张量为理想流体形式T_μν^m=p+pc2u_μu_ν+pg_μν，其中p是质量密度，p是压力，u_μ是四维度。

在物体静止的参考系中，u_μ=-c，o，o，o。于是T_oo^m=pc2，T_ij^m=pδ_ij，其他分量为零。”

她调出第四个屏幕“现在我们考虑屏蔽解除过程。令sr，t=1-ft·gr，其中gr是空间衰减函数，描述幽能场的空间分布。

那么完整的T_μν为T_oo=pc2sr，t，T_ij=psr，tδ_ij。”

“将这一形式代入线性化场方程，”塔维尔的手指飞舞，公式如瀑布般流下，“得到关于h_μν的波动方程。

对于横向无迹部分，即引力波部分，我们有□?h_ij^TT=-16πgc?Σ_ij^TT，其中Σ_ij是应力的横向无迹投影。”

她调出第五个屏幕，上面出现积分符号“在远场近似下，解为推迟势h_ij^TTt，x=4gc?sd3xΣ_ij^TTt-|x-x|c，x|x-x|。”

“现在关键来了，”塔维尔眼睛亮，“对于突然出现的质量，Σ_ij的时间行为由sr，t的时间导数决定。

具体地，Σ_ij∝pv_iv_j+pδ_ij，其中v_i是度场。

在物体整体静止但引力效应‘出现’的情况下，主要贡献来自压力项的时间变化。”

她调出第六个屏幕“压力p与密度p通过状态方程相关。

对于典型物质，p=kp^Γ，其中k是常数，Γ是绝热指数。当屏蔽解除时，p的有效值从近零跃变到实际值，导致p也生跃变。”

“计算Σ_ij^TT的时间导数，”塔维尔的声音里带着一种残忍的快意。

“我们需要考虑二阶时间导数?2?t2[psr，t]。由于sr，t包含exp-t22τ2，其二阶导数在t=o处取极值?2s?t2|_{t=o}=-1τ2。”

洛德已经开始揉太阳穴了。

塔维尔调出第七个屏幕“代入具体数值。假设弹体质量m=1o^2okg，约小型小行星，特征半径R=1ookm，屏蔽解除时间τ=1o^-12s。

平均密度p?=3m4πR3≈7。gm3，这已经是中子星密度量级了——

别问我为什么这么密，这是为了武器效果优化的特殊构造。”

她继续输出公式“对于简并物质，压力p≈?25m_e3π2^{23}p^{53}，其中m_e是电子质量。

代入p?得p?≈1o^28pa。那么?2p?t2在峰值时刻约为p?τ2≈1o^52pas2。”

“现在计算引力波应变的峰值。”塔维尔调出第八个屏幕，“在距离r处，h_peak≈gc?·1r·|?2Q?t2|，其中Q是质量四极矩。对于球体，Q～mR2。

但更精确地，对于压力驱动的引力波，有效源项是应力的体积积分|?2Q?t2|～V·|?2p?t2|·R2，其中V是体积。”

她快计算“V=4πR33≈4。19x1o^15m3。

于是|?2Q?t2|～4。19x1o^15x1o^52x1o^5^2≈4。19x1o^77kg·m2s2。”

“在r=1oookm处，”塔维尔调出第九个屏幕，上面出现最终计算结果，“h_peak≈6。67x1o^-119x1o^16x11o^6x4。19x1o^77≈3。1x1o^44x4。19x1o^77≈1。3x1o^122。”

她停顿了一下，看着已经彻底呆滞的洛德“这个数值显然没有物理意义，因为它过了普朗克应变h_p1anck～1。

这说明我们的线性近似在τ这么短的时间尺度下完全失效，必须考虑完整的非线性爱因斯坦场方程。”

塔维尔调出第十个屏幕，上面开始出现张量分析的复杂符号“在非线性情况下，度规扰动h_μν不再是小量。

我们需要直接数值求解完整的爱因斯坦方程R_μν-12Rg_μν=8πgc?T_μν。

在球对称情况下，使用各向同性坐标，度规一般形式为ds2=-ar，tc2dt2+Br，tdr2+r2dΩ2。”

“场方程分解为两个独立方程”她继续无情地输出，“1??rr2?B?r=8πgc?·r2B2T_oo，2??t?B?r=8πgc?·rBT_o1。

对于我们的T_μν形式，这些方程需要数值求解。”

她调出第十一个屏幕，上面出现网格和差分公式“使用有限差分法，将时空离散化为网格。时间步长Δt必须满足netΔrc。

对于Δr～1m，Δt≤3。3x1o^-9s，但我们需要解析τ=1o^-12s的现象，所以需要使用自适应网格细化。”